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Qué es la geometría

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La geometría es una parte de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras en el espacio o en el plano. Del mismo modo, analiza la extensión, la forma de medirla, los ángulos, las relaciones entre líneas, puntos, ángulos, figuras y planos. En CurioSfera-Ciencia.com, te explicamos qué es la geometría, quién la descubrió y su evolución.

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Origen e inventor de la geometría

El acontecimiento de mayor tras­cendencia en el ámbito de la geo­metría de finales del siglo XIX, fue la aparición de la geometría no euclidiana. Había sido inven­tada de forma prácticamente for­tuita en 1773, por el italiano Girolamo Saccheri y más tarde quedó estructurada, entre 1836 y 1840, por el ruso Nicolai Lobachevski y el húngaro János Bolyai.

Uno de los ras­gos peculiares que en aquella pri­mera etapa caracterizaron estas investigaciones es la escasez de publicaciones científicas al res­pecto y el hecho de que los estu­diosos que trabajaban en ello mantuvieron pocos contactos entre sí.

No debe extrañar, por tanto, que Lobachevski y Bolyai llegaran a establecer independientemente los conceptos que instauraron la noción de curvatu­ra del espacio, que en 1854 volve­ría a inventar por su lado, y de forma igualmente independiente, el alemán Bernhard Riemann.

De estos tres grandes geómetras y matemáticos fue sin duda Rie­mann el que extrajo las conclusio­nes más avanzadas que sentarían las bases de esta especie de «revo­lución» en el ámbito de la geome­tría.

Riemann abordó vigorosa­mente el problema de la naturale­za del espacio e inventó un concepto que más tarde retomaría Albert Einstein: el espacio no es un medio neutro, sino que inte­ractúa con los objetos que se encuentran inmersos en él.

Sosten­drá que, por un punto, no es posi­ble trazar ninguna paralela a una recta… Pero sus escritos, publica­dos póstumamente en 1886, per­manecieron prácticamente igno­rados en un primer momento.

Evolución de los principios geométricos

En los años que siguieron, el italiano Eugenio Beltrami demostró que si, en un plano euclidiano, consi­deramos simplemente la distan­cia y el ángulo como funciones de las coordenadas que han propor­cionado la distancia y el ángulo en un espacio esférico, vamos a dar directamente sobre el postu­lado de Lobachevski.

Beltrami es­tablece por tanto una vía de co­municación entre la geometría euclidiana y la no euclidiana, vía que subrayará más nítidamente el alemán Félix Klein en 1872.

En efecto, Klein establece el princi­pio según el cual a cada grupo de transformaciones en el espacio corresponden unas propiedades del espacio que permanecen in­variantes.

Distingue por tanto va­rios tipos de geometrías, cada una de las cuales se caracteriza por un grupo de transformacio­nes y de invariantes:

  • La geometría proyectiva: que conserva las nociones de punto y de recta.
  • Geometría afín: que con­serva la recta, pero no las longitu­des ni las medidas de ángulos.
  • La geometría métrica: que conserva las distan­cias.
  • Geometría euclidiana: que conserva longitud, dimensión, medida de ángulos y forma de las figuras.
  • Las geometrías no euclidianas: que a su vez están divididas en dos grupos, la geometría métrica hiperbólica, que conser­va como invariante una cónica real, y la geometría métrica parabólica, que conserva la medida de ángulos.

Después de Klein, dos grandes matemáticos, Lie y Cartan, contribuirán con sus trabajos para descifrar ese ámbito completamente nuevo que era la geometría no euclidiana.

El noruego Sophus Lie, que trabajaba en Leipzig, acometió la tarea de definir las transformaciones de contacto entre es­feras y líneas rectas del espacio.

Su formulación analítica fundará la denominada álgebra de Lie. Por su parte, el francés Élie Cartan perfeccionó los instrumentos ne­cesarios para explorar este campo, cada vez más estrechamente liga­do al álgebra.

En 1894 presentó una clasificación de todos los gru­pos continuos y finitos de Lie, tra­bajo que completaría en 1914 al determinar las álgebras de Lie. Cartan construyó también geome­trías generales en las que estaban incluidas las geometrías de Riemann, trabajos que contribuyeron a acrecentar su fama.

El impulsor de la geometría moderna

Un espacio destacado merece el francés Henri Poincaré, el ma­temático más importante de este período. Éste se consagró a la aplicación de las ecuaciones diferenciales en física matemática y en mecánica celeste.

Poincaré, «especialista» de las funciones, de las cuales descubrió dos cla­ses, fue el primero en estudiar las funciones analíticas con diversas variables complejas, estudios que entre 1881 y 1911 le conducirían a la geometría analítica, integrada por la teoría de las variedades y de los espacios analíticos.

Sin duda, este resumen excesivamen­te sucinto de la obra de Poincaré, que agrupa casi quinientas me­morias, no hace justicia a este genio excepcional.

Aquí tan sólo podemos limitarnos a presentar un bosquejo de sus conclusiones sobre la práctica de teorías originarias matemáticas: éstas sólo son significati­vas cuando se construyen par­tiendo de la intuición inmediata Poincaré aparece por tanto como el primer estudioso que vislum­bró y declaró que ni la geometría ni las matemáticas constituyen en sí mismas una representación del mundo, sino que son simplemen­te una herramienta de trabajo para su conocimiento.

De hecho, y a diferencia de sus predeceso­res, Poincaré se interesó frecuen­temente en las aplicaciones de la geometría y de las matemáticas al análisis de los fenómenos físicos, como por ejemplo el electrodina­mismo de los cuerpos en movi­miento, la vibración de las membranas, el enfriamiento de un só­lido, las órbitas planetarias.

En conclusión, podemos afirmar que Poincaré es el primer gran geó­metra y matemático que integró sus conocimientos dentro del ám­bito de la física teórica.

Aplicaciones de la geometría

Ni que decir tiene, que esta historia de los inventos realiza­dos en materia de geometría a partir de 1850 es tan sólo un ceñi­dísimo resumen y que los nom­bres y datos mencionados son meramente indicativos. Simples puntos de referencia.

La historia de la geometría es una sucesión continua de inventos. Y, solamente una obra de gran amplitud po­dría hacer justicia a sus importan­tes y numerosos protagonistas.

La aportación de la geometría a las técnicas es inestimable, como incalculables han sido sus repercusiones en campos tan di­versos como la mecánica o la astrología. Pasando por la arquitec­tura y la física teórica.

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