La geometría es una parte de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras en el espacio o en el plano. Del mismo modo, analiza la extensión, la forma de medirla, los ángulos, las relaciones entre líneas, puntos, ángulos, figuras y planos. En CurioSfera-Ciencia.com, te explicamos qué es la geometría, quién la descubrió y su evolución.
Origen e inventor de la geometría
El acontecimiento de mayor trascendencia en el ámbito de la geometría de finales del siglo XIX, fue la aparición de la geometría no euclidiana. Había sido inventada de forma prácticamente fortuita en 1773, por el italiano Girolamo Saccheri y más tarde quedó estructurada, entre 1836 y 1840, por el ruso Nicolai Lobachevski y el húngaro János Bolyai.
Uno de los rasgos peculiares que en aquella primera etapa caracterizaron estas investigaciones es la escasez de publicaciones científicas al respecto y el hecho de que los estudiosos que trabajaban en ello mantuvieron pocos contactos entre sí.
No debe extrañar, por tanto, que Lobachevski y Bolyai llegaran a establecer independientemente los conceptos que instauraron la noción de curvatura del espacio, que en 1854 volvería a inventar por su lado, y de forma igualmente independiente, el alemán Bernhard Riemann.
De estos tres grandes geómetras y matemáticos fue sin duda Riemann el que extrajo las conclusiones más avanzadas que sentarían las bases de esta especie de «revolución» en el ámbito de la geometría.
Riemann abordó vigorosamente el problema de la naturaleza del espacio e inventó un concepto que más tarde retomaría Albert Einstein: el espacio no es un medio neutro, sino que interactúa con los objetos que se encuentran inmersos en él. Sostendrá que, por un punto, no es posible trazar ninguna paralela a una recta… Pero sus escritos, publicados póstumamente en 1886, permanecieron prácticamente ignorados en un primer momento.
Evolución de los principios geométricos
En los años que siguieron, el italiano Eugenio Beltrami demostró que si, en un plano euclidiano, consideramos simplemente la distancia y el ángulo como funciones de las coordenadas que han proporcionado la distancia y el ángulo en un espacio esférico, vamos a dar directamente sobre el postulado de Lobachevski.
Beltrami establece por tanto una vía de comunicación entre la geometría euclidiana y la no euclidiana, vía que subrayará más nítidamente el alemán Félix Klein en 1872. En efecto, Klein establece el principio según el cual a cada grupo de transformaciones en el espacio corresponden unas propiedades del espacio que permanecen invariantes.
Distingue por tanto varios tipos de geometrías, cada una de las cuales se caracteriza por un grupo de transformaciones y de invariantes:
- La geometría proyectiva: que conserva las nociones de punto y de recta.
- Geometría afín: que conserva la recta, pero no las longitudes ni las medidas de ángulos.
- La geometría métrica: que conserva las distancias.
- Geometría euclidiana: que conserva longitud, dimensión, medida de ángulos y forma de las figuras.
- Las geometrías no euclidianas: que a su vez están divididas en dos grupos, la geometría métrica hiperbólica, que conserva como invariante una cónica real, y la geometría métrica parabólica, que conserva la medida de ángulos.
Después de Klein, dos grandes matemáticos, Lie y Cartan, contribuirán con sus trabajos para descifrar ese ámbito completamente nuevo que era la geometría no euclidiana.
El noruego Sophus Lie, que trabajaba en Leipzig, acometió la tarea de definir las transformaciones de contacto entre esferas y líneas rectas del espacio. Su formulación analítica fundará la denominada álgebra de Lie. Por su parte, el francés Élie Cartan perfeccionó los instrumentos necesarios para explorar este campo, cada vez más estrechamente ligado al álgebra.
En 1894 presentó una clasificación de todos los grupos continuos y finitos de Lie, trabajo que completaría en 1914 al determinar las álgebras de Lie. Cartan construyó también geometrías generales en las que estaban incluidas las geometrías de Riemann, trabajos que contribuyeron a acrecentar su fama.
El impulsor de la geometría moderna
Un espacio destacado merece el francés Henri Poincaré, el matemático más importante de este período. Éste se consagró a la aplicación de las ecuaciones diferenciales en física matemática y en mecánica celeste.
Poincaré, «especialista» de las funciones, de las cuales descubrió dos clases, fue el primero en estudiar las funciones analíticas con diversas variables complejas, estudios que entre 1881 y 1911 le conducirían a la geometría analítica, integrada por la teoría de las variedades y de los espacios analíticos. Sin duda, este resumen excesivamente sucinto de la obra de Poincaré, que agrupa casi quinientas memorias, no hace justicia a este genio excepcional.
Aquí tan sólo podemos limitarnos a presentar un bosquejo de sus conclusiones sobre la práctica de teorías originarias matemáticas: éstas sólo son significativas cuando se construyen partiendo de la intuición inmediata Poincaré aparece por tanto como el primer estudioso que vislumbró y declaró que ni la geometría ni las matemáticas constituyen en sí mismas una representación del mundo, sino que son simplemente una herramienta de trabajo para su conocimiento.
De hecho, y a diferencia de sus predecesores, Poincaré se interesó frecuentemente en las aplicaciones de la geometría y de las matemáticas al análisis de los fenómenos físicos, como por ejemplo el electrodinamismo de los cuerpos en movimiento, la vibración de las membranas, el enfriamiento de un sólido, las órbitas planetarias.
En conclusión, podemos afirmar que Poincaré es el primer gran geómetra y matemático que integró sus conocimientos dentro del ámbito de la física teórica.
Aplicaciones de la geometría
Ni que decir tiene, que esta historia de los inventos realizados en materia de geometría a partir de 1850 es tan sólo un ceñidísimo resumen y que los nombres y datos mencionados son meramente indicativos. Simples puntos de referencia.
La historia de la geometría es una sucesión continua de inventos. Y, solamente una obra de gran amplitud podría hacer justicia a sus importantes y numerosos protagonistas. La aportación de la geometría a las técnicas es inestimable, como incalculables han sido sus repercusiones en campos tan diversos como la mecánica o la astrología. Pasando por la arquitectura y la física teórica.
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